弁護士に依頼しなければ
給付金を支給して
もらえないのですか。

ご自身でも請求できますが、弁護士に依頼することをお勧めします。

給付金の支給は「国家賠償請求訴訟」という訴訟を各地方裁判所に提起することが前提となります。この「国家賠償請求訴訟」は他の一般的な訴訟と同様、弁護士を立てずにご自身で提起することができます。
しかし、基本合意における要件及び証拠の例示は、あらゆる事象に対応できるように複雑に規定されていますし、また、国との和解を前提とした国家賠償請求訴訟という極めて特殊な手続きで法的に確認されますので、法的な知識がありませんと対応が極めて困難です。なので、弁護士に依頼されることをお勧めします。
なお、過払い金請求訴訟などでは、弁護士ではなく司法書士に依頼される方もおおくいらっしゃいましたが、司法書士は簡易裁判所においてのみ訴訟代理権が付与される場合がありますが、国家賠償請求訴訟は地方裁判所にのみ提起されるものなので、司法書士には代理権がありません。この点ご注意ください。